QC Shop

Quan điểm duy vật biện chứng về đối tượng của toán học

PGS, TS. Vũ Văn Viên

Nguồn: Triết học, số 3 (130), tháng 3 - 2002

Do đặc tính trừu tượng của toán học, nhất là đối với toán học hiện đại - toán học được xem là khoa học về các cấu trúc trừu tượng, mà vấn đề đối tượng của toán học luôn gây nên sự chú ý của các trường phái triết học. Cũng từ đó hình thành các quan niệm khác nhau về bản chất của tri thức toán học. Việc xem xét đối tượng của toán học trên lập trường duy vật biện chứng sẽ giúp chúng ta có cách nhìn đúng đắn về bản chất của toán học, vai trò của toán học trong sự phát triển của khoa học, công nghệ hiện đại, đồng thời tránh sa vào những quan niệm duy tâm về bản chất của toán học hiện đại nói riêng và của khoa học công nghệ hiện đại  nói chung.   

Ảnh chỉ có tính chất minh họa.

Ảnh chỉ có tính chất minh họa.

Trong toán học, vấn đề mối quan hệ giữa tư duy và tồn tại được thể hiện thành vấn đề mối quan hệ giữa tri thức toán học và hiện thực khách quan. Việc giải quyết vấn đề này cũng chia làm hai trường phái đối lập nhau. Những người duy vật cho rằng những khái niệm và lý thuyết toán học là sự phản ánh những thuộc tính và những quan hệ của thế giới khách quan. Trái lại, những người duy tâm cho rằng những tri thức toán học, hoặc những tư tưởng được sáng tạo một cách thuần tuý bởi tư duy con người, hoặc  những tư tưởng tiên nghiệm, có trước kinh nghiệm, tức là tri thức toán học biểu thị như cái có trước, cái thứ nhất, còn tự  nhiên là cái thứ hai.

Cách tiếp cận một cách khoa học về đối tượng của toán học, trong đó có các trừu tượng toán học, sẽ không chỉ cho chúng ta lời giải duy vật về bản chất của các tri thức toán học, mà còn cả sự phân tích có tính chất  biện chứng về quá trình phát triển của toán học.

Trong việc tìm hiểu đối tượng của toán học, hai vấn đề cần được quan tâm hàng đầu là khách thể nào trong hiện thực là đối tượng của toán học và toán học phản ánh đối tượng ấy như thế nào?

1. Toán học phản ánh khía cạnh nào của hiện thực

Các khoa học khác nghiên cứu các hình thức vận động riêng biệt của vật chất (như cơ học, hoá học...) hay một số  hình thức vận động quan hệ qua lại (như lý hoá, hoá sinh...) Toán học không nghiên cứu một hình thức vận động riêng biệt nào của vật chất, mà nghiên cứu một số khía cạnh của hiện thực có quan hệ với tất cả các hình thức vận động của vật chất. Như Ph.Ăngghen đã viết "Toán học thuần tuý có đối tượng của mình là các hình thức  không gian và các quan hệ số lượng của thế giới hiện thực"([1]).

Như vậy, đặc trưng của toán học với tư cách  một khoa học là ở chỗ, nó phân tách những quan hệ số lượng và  những hình thức không gian tồn tại ở tất cả mọi đối tượng và hiện tượng, và xem chúng là đối tượng khách thể nghiên cứu của mình.  Quan niệm toán học như là khoa học về các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực đem lại cho chúng ta khả năng hiểu biết một cách đúng đắn nội dung khách quan của đối tượng toán học cũng như khuynh hướng phát triển chung của toán học.

Vấn đề là ở chỗ, do cách hiểu hạn hẹp về quan hệ số lượng và các hình thức không gian theo quan niệm siêu hình nên việc lý giải về đối tượng hiện thực của toán học cũng gây nên không ít tranh cãi. Quan niệm biện chứng đã cho phép chúng ta có cách hiểu đầy đủ hơn, sâu sắn hơn về quan hệ số lượng và các hình thức không gian.

Cho đến giữa thế kỷ XIX, quan hệ số lượng vẫn được hiểu một cách hết sức hẹp. Người ta hiểu số lượng là một đại lượng. Vì mỗi đại lượng thông qua đơn vị được lựa chọn  đều có thể được biểu thị bằng số, cho nên quan niệm về số lượng được liên tưởng với khái niệm số. Tương ứng với điều đó, toán học được xem như là khoa học nghiên cứu các tính phụ thuộc khác nhau giữa các đại lượng hay giữa các biểu thị bằng số của chúng. Lịch sử của toán học chỉ ra rằng, cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn xã hội, phạm vi quan hệ số lượng và các hình thức không gian được toán học nghiên cứu đã được mở rộng không ngừng. Chẳng hạn, trong toán học hiện đại, đó là các cấu trúc toán học trừu tượng. Để thấy rõ hơn vấn đề đối tượng của toán học, chúng ta cần tìm hiểu nó thông qua các giai đoạn phát triển cơ bản của toán học.

a) Thời kỳ hình thành, bắt đầu từ thời cổ đại đến thế kỷ VII - VI trước công nguyên. Những trung tâm lớn của thời kỳ này là Babilon, Ai Cập, Trung Quốc, Ấn Độ. Thời kỳ này còn được gọi là thời kỳ tiền Hy Lạp. Đây là thời kỳ hình thành những khái niệm đầu tiên của toán học, thời kỳ mà tri thức toán học gắn liền với những nhu cầu của đời sống kinh tế: sự trao đổi các sản phẩm, sự đo đạc các thửa ruộng. Các khái niệm toán học - số và hình - xuất phát trực tiếp từ những khách thể hiện thực, tức là những vật thể cụ thể, cảm tính. Vì vậy, ở thời kỳ này, các quan hệ số lượng và hình thức không gian gắn liền với các khách thể cụ thể; còn bản thân toán học vẫn chưa được xem là khoa học lý thuyết trừu tượng.

b) Thời kỳ thứ hai, từ thế kỷ VI trước công nguyên đến đầu thế kỷ XVII. Đây là thời kỳ phát triển của toán học về các đại lượng bất biến. Từ thế kỷ VI đến thế kỷ III trước công nguyên (thời kỳ Hy Lạp cổ đại), toán học đã được xem như một khoa học lý thuyết trừu tượng.

Ở thời kỳ này, toán học mở rộng sự trừu tượng hoá và khái quát hoá, mà đối tượng nghiên cứu trực tiếp là số và hình. Từ việc nghiên cứu này, người ta đã rút ra những tính chất và các quan hệ giữa các số và các hình hình học. Trên cơ sở số học và hình học, người ta cũng đã xây dựng nên những môn lượng giác và đại số sơ cấp.

Thành tựu nổi bật của thời kỳ này - đánh dấu mức độ cao của sự hoàn thiện bộ máy lôgíc của toán học - là việc sử dụng phương pháp tiền đề để xây dựng hình học của Ơclít trên các đối tượng trừu tượng: điểm, đường, mặt phẳng. Vì vậy, đến giai đoạn này, các quan hệ số lượng và các hình thức không gian đã được trừu tượng khỏi các khách thể cụ thể.

c) Thời kỳ thứ ba, từ thế kỷ XVIII đến giữa thế kỷ XIX.  Đây là thời kỳ gắn liền với sự mở rộng quan niệm về các quan hệ số lượng và các hình thức không gian. Khác với các thời kỳ trước chỉ nghiên cứu các đại lượng bất biến, ở thời kỳ này, toán học đã chuyển sang nghiên cứu tính phụ thuộc giữa các đại lương biến thiên. Ví dụ, y = ax (y,x là các đại lượng biến thiên). Cho nên, có thể nói, đây là thời kỳ phát triển của toán học về các đại lượng biến thiên, tức là toán học đã đi vào nghiên cứu vận động và các quá trình. Người đã tạo ra bước ngoặt đánh dấu sự phát triển của toán học thời kỳ này là R. Đêcáctơ. Ph.Ăngghen đã nhận xét: "Đại lượng khả biến của Đêcáctơ đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán học. Với đại lượng đó, vận động và biện chứng đã đi vào toán học"(2). Ở đây, toán học vẫn được xem là khoa học về các đại lượng (không biến đổi và biến đổi). Tuy nhiên, ở giai đoạn này, các quan hệ số lượng và các hình thức không gian đã không chỉ tách khỏi những khách thể trong hiện thưc, mà còn tách khỏi cả những đại lượng trừu tượng cụ thể (ví dụ, số và hình); hơn nữa, toán học đã chuyển từ việc nghiên cứu các đại lượng bất biến sang việc nghiên cứu các đại lượng khả biến.

d) Thời kỳ thứ tư, từ  cuối thế kỷ XIX đến nay. Thời kỳ này được bắt đầu bằng những phát minh của N.I.Lôbasépxki, dẫn đến việc xuất hiện các lý thuyết hình học phi Ơclít. Nhờ đó, đối tượng của hình học được mở rộng đáng kể: 1) Từ một hệ tiên đề và những khái niệm xuất phát, có thể cho ta những giải thích khác nhau nhất và có thể xem chúng như những cấu trúc trừu tượng nào đấy. 2) Số chiều của không gian cũng được mở rộng. Cùng với không gian 3 chiều thông thường, người ta xây dựng không gian trừu tượng nhiều chiều, thậm chí vô hạn chiều. Những không gian này được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên, cũng như trong các lĩnh vực kinh tế và xã hội học.

Thành tựu nổi bật thứ hai ở thời kỳ này là sự thay đổi căn bản trong các nghiên cứu đại số. Nếu trước đây, đại số chỉ nghiên cứu các vấn đề gắn liền với việc giải phương trình, thì bây giờ, nó nghiên cứu những toán tử đại số khác nhau, đối tượng của đại số hiện đại là những cấu trúc trừu tượng khác nhau nhất.

 

Cách tiếp cận trừu tượng như thế về đối tượng của đại số và hình học được biểu thị một cách đầy đủ nhất nhờ các phương tiện của lý thuyết tập hợp và gắn liền với nó là phương pháp tiên đề. Sự ra đời của lý thuyết tập hợp không chỉ tạo ra những phương tiện mạnh mẽ cho việc lập luận toán học, mà còn tạo ra khả năng mới cho sự phát triển của toán học.

Như vậy, đối với toán học hiện đại, đặc trưng quan trọng nhất là các cấu trúc toán học trừu tượng. Cho nên, có thể gọi toán học thời kỳ này là khoa học về các cấu trúc trừu tượng. Trên cơ sở khái quát các thành tựu của toán học hiện đại, trường phái toán học Pháp mang tên Burbaki đã trình bày toàn bộ các lý thuyết toán học bằng những cấu trúc trừu tượng. Các cấu trúc này phản ánh được các quan hệ phong phú và đa dạng về số lượng và hình thức không gian của thế giới hiện thực thông qua các khách thể trừu tượng, lý tưởng, nhằm khám phá các quy luật mới và mở rộng lĩnh vực ứng dụng của toán học. Chính vì vậy, trong giai đoạn hiện đại, các quan hệ số lượng và hình thức không gian  đã được mở rộng một cách lý tưởng - đó là các cấu trúc trừu tượng.

Qua việc xem xét lịch sử phát triển của toán học, chúng ta thấy, khía cạnh đặc thù của hiện thực mà toán học nghiên cứu là các quan hệ số lượng và các hình thức không gian với cách hiểu rất rộng của chúng.

Tuy nhiên, để phản ánh các khía cạnh đó của hiện thực, toán học đã xây dựng nên các khách thể trừu tượng của mình. Những khách thể trừu tượng này mới chính là đối tượng trực tiếp của các lý thuyết toán học. Chính vì vậy, để có thể hiểu thực chất của đối tượng của toán học, chúng ta không thể không tìm hiểu các đặc điểm của sự trừu tượng toán học.

2. Trừu tượng toán học

Tính trừu tượng của các khái niệm toán học quy định thực chất của sự phản ánh toán học. Nó luôn luôn là mối quan tâm của các nhà khoa học. Để hiểu rõ thực chất của khái niệm và lý thuyết toán học, cũng như đối tượng của toán học, trước hết, chúng ta phải tìm hiểu bản chất của các trừu tượng toán học.

Trong khoa học, trừu tượng được hiểu theo hai nghĩa: 1) Trừu tượng như là phương pháp nghiên cứu các hiện tượng, như là thao tác tư duy mà thông qua đó, người ta tách bỏ các thuộc tính không căn bản và tập trung vào các thuộc tính căn bản. 2) Trừu tượng  như là kết quả của quá trình trừu tượng hoá. Theo nghĩa này, các trừu tượng toán học chính là đối tượng trực tiếp của các lý thuyết toán học.

Đặc trưng của toán học được quy định bởi một loạt những đặc điểm quan trọng của sự trừu tượng. Những đặc điểm này phân biệt trừu tuợng toán học với sự trừu tượng trong các khoa học khác. Có thể kể ra một số đặc trưng quan trọng sau đây:

1. Sự trừu tượng toán học là sự trừu tượng "có sức mạnh lớn nhất". Chúng ta biết rằng, các khái niệm toán học chỉ phản ánh đối tượng và quá trình, cho nên các khái niệm này là hình ảnh phiến diện nhất của hiện thực. Để tách ra những quan hệ số lượng và các hình thức không gian dưới dạng thuần tuý, nhà toán học phải sử dụng sự trừu tượng "có sức mạnh lớn nhất". Ở các khoa học khác, khi trừu tượng hoá, người ta vẫn giữ lại các thuộc tính chất lượng cùng với quan hệ số lượng và hình thức không gian của chúng. Trái lại, trong toán học, người ta phải vứt bỏ tất cả những đặc điểm chất lượng, những thuộc tính riêng biệt của đối tượng và hiện tượng, chỉ giữ lại quan hệ số lượng và hình thức không gian mà thôi.

Thực tiễn phát triển của khoa học cho thấy, ở chỗ mà nhà khoa học kinh nghiệm dừng lại, thì nghiên cứu toán học mới chỉ bắt đầu. So với quá trình trừu tượng hoá trong khoa học kinh nghiệm thì quá trình trừu tượng hoá trong toán học đi xa hơn.

2. Sự trừu tượng toán học là sự trừu tượng được thực hiện thông qua một loạt những mức độ kế tiếp nhau. Vì vậy, trong toán học xuất hiện sự trừu tượng của trừu tượng. Chẳng hạn, khái niệm số. Lúc đầu, nó chưa được tách khỏi những tập hợp để đếm và do vậy, nó biểu hiện như một danh số. Sau đó, nó tách khỏi các tập cụ thể và biểu hiện như một  khái niệm trừu tượng (như là những con số cụ thể). Hai mức này ít phân biệt với sự trừu tượng tương ứng trong khoa học kinh nghiệm. Nhưng toán học đi xa hơn: nếu ở giai đoạn hai, khái niệm số còn gắn liền với số trừu tượng cụ thể như 1, 2.....15.....100.....thì sau đó, nó được trừu tượng khỏi giá trị cụ thể của số, từ đó xuất hiện khái niệm số tự nhiên bất kỳ. Khái niệm này có ý nghĩa đặc biệt đối với toán học, vì nó cho chúng ta khả năng trừu tượng khỏi các số cụ thể và đảm bảo có thể chứng minh các định lý dưới dạng tổng quát.

Tuy nhiên, sự trừu tượng toán học còn đi xa hơn. Chẳng hạn, từ  số tự nhiên, chúng ta có số hữu tỷ, số thực, số phức....

Trong đại số, từ các công thức vật lý S  =      (rơi tự do) và W =

(w là năng lượng; c là dung tích vật dẫn; u là thế hiệu cần nạp), toán học tách khỏi nội dung cụ thể và nghiên cứu

hàm số:  y =

Trong hình học, từ hình học Ơclít, người ta đã xây dựng nên các hình học phi Ơclít, rồi hình học Tôpô.

3. Sự trừu tượng toán học phần lớn được thực hiện với việc sử dụng các khách thể lý tưởng. Chẳng hạn, các khái niệm "điểm", "đường", "mặt phẳng" của hình học Ơclít đã là những khách thể lý tưởng, vì chúng được tạo ra thông qua sự lý tưởng hoá. Trong thực tế, không có điểm, đường, mặt phẳng nào giống như sự biểu thị trong các khái niệm tương ứng nói trên.

Nếu sự lý tưởng hoá được hiểu rộng đến mức như là quá trình tạo ra những khái niệm biểu thị các thuộc tính của hiện thực bởi một sự biến dạng, hoặc sự mô tả các thuộc tính không có ở thế giới hiện thực thì có thể khẳng định rằng, những khách thể toán học lý tưởng, trừu tượng ấy là những khách thể xuất hiện trực tiếp do nhu cầu nội tại của các nghiên cứu toán học. Chẳng hạn, số ảo (i).

4. Sự trừu tượng toán học là sự trừu tượng về tính thực hiện được. Có một số khái niệm vô hạn như sau: Trong thế giới hiện thực, các đối tượng cũng như các thuộc tính của chúng là vô cùng, vô tận. Song, để nhận thức được các tập vô hạn như vậy, toán học đã sử dụng sự trừu tượng về tính thực hiện được để xây dựng nên những khái niệm vô hạn toán học khác nhau. Toán học cũng đã sử dụng một số khái niệm vô hạn như: Vô hạn thực thể - khả năng thực hiện được một cách thực tế với một số bước đủ lớn, qua đó ta có thể nhận được kết quả  gần đúng cần thiết cho mục đích của chúng ta. Vô hạn tiềm năng - khả năng thực hiện được một cách tiềm năng. trong một tập vô hạn, các phần tử không tồn tại một cách đồng thời, mà được xây dựng dần theo các thuật toán xác định, sao cho việc xây dựng xong phần tử thứ n sẽ tạo điều kiện để xây dựng phần tử thứ nhất n + 1, và quá trình cứ tiếp tục diễn ra một cách không có giới hạn. Vô hạn thực tại - khả năng thực hiện được một cách tuyệt đối. Trong một tập vô hạn, các phần tử tồn tại bình đẳng và đồng thời (tức thời) với nhau.

Hai khái niệm vô hạn thực tại và vô hạn tiềm năng trở thành hai khái niệm cơ bản đối với cơ sở của toán học. Chúng bổ sung cho nhau, thống nhất với nhau trong quá trình phát triển biện chứng của toán học.

5. Nhiều hệ thống trừu tượng toán học, khi xuất hiện trên cơ sở kinh nghiệm và thực tiễn hay trong quá trình phát triển lôgíc thuần tuý không đòi hỏi  phải tiếp tục hướng tới kinh nghiệm. Trong toán học, nhiều khái niệm được trừu tượng từ kinh nghiệm, như số tự nhiên, điểm, đường, mặt phẳng,...song không nhất thiết phải được kiểm tra kinh nghiệm. Ngoài ra,  những khái niệm xuất hiện từ nhu cầu nội tại của toán học, như hình học Lôbaxépxki, số ảo, cũng không nhất thiết phải được kiểm tra kinh nghiệm trực tiếp.

Việc kiểm tra kinh nghiệm các khái niệm, lý thuyết toán học này được thực hiện một cách gián tiếp - thông qua các lý thuyết khoa học có sử dụng khái niệm và lý thuyết toán học tương ứng.

Qua việc tìm hiểu những đặc điểm của trừu tượng toán học, chúng ta thấy, các trừu tượng toán học đi rất xa và nhiều trừu tượng toán học không xuất phát từ những nhu cầu thực tế, từ những khách thể hiện thực, mà từ nhu cầu phát triển nội tại của toán học. Từ đó, một vấn đề đặt ra là, phải chăng những trừu tượng như thế không có cơ sở thực tế, không có nguồn gốc khách quan? Sự thực không phải như vậy. Tìm hiểu quá trình xuất hiện các trừu tượng toán học, chúng ta thấy chúng đều có nguồn gốc, cơ sở sâu xa từ hiện thực khách quan. Chẳng hạn, để có số ảo (i), chúng ta phải có số thực; để có số thực, phải có số hữu tỷ; để có số hữu tỷ, phải có số tự nhiên; để có số tự nhiên, phải có nhu cầu trao đổi các sản vật trong thực tế. Như vậy, sự ra đời của số ảo, suy cho cùng, có nguồn gốc khách quan - từ các khách thể hiện thực. Cũng tương tự như vậy, để có hình học Lôbasépxki, phải có hình thức học Ơclít; để có hình học Ơclít, phải có nhu cầu đo đạc các thửa ruộng, mảnh đất. Từ đó cho thấy, sự ra đời của hình học Lôbasépxki có nguồn gốc sâu xa từ các khách thể hiện thực.

Cùng với vấn đề trên là vấn đề khả năng phản ánh hiện thực của các trừu tượng toán học như thế nào? Thực tiễn phát triển toán học cho thấy, các khái niệm, lý thuyết toán học, dù ra đời từ nhu cầu thực tiễn hay từ nhu cầu nội tại của toán học, càng trừu tượng thì chúng càng phản ánh hiện thực khách quan một cách đầy đủ hơn, sâu sắc hơn. Chẳng hạn, hình học Rieman - hình học cầu (ra đời từ hình học Ơclít - hình học phẳng), lại phản ánh hình thức không gian xác thực hơn hình học Ơclít. Đúng như Lênin đã nhận xét: "Tư duy, khi tiến lên từ cái cụ thể đến cái trừu tượng không xa - nếu nó đúng - rời chân lý. Những sự trừu tượng về vật chất, về quy luật tự nhiên, sự trừu tượng về giá trị, v.v.... tóm lại, tất cả những trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tuỳ tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, chính xác hơn, đầy đủ hơn" (3).

*

*        *

Qua sự phân tích về đối tuợng của toán học, chúng ta có thể đi đến một số kết luận sau:

Một là, toán học là hình thức phản ánh rất khái quát, rất trừu tượng về hiện thực khách quan. Có tình hình ấy là vì toán học không phản ánh một hình thức vận động cụ thể nào của thế giới khách quan, mà chỉ phản ánh các khía cạnh nhất định (các quan hệ số lượng và hình thức không gian) có ở tất cả các hình thức vận động. Cũng chính vì vậy, sự phản ánh toán học tạo thành một nội dung quan trọng của các hình thức phản ánh khác. Thực tiễn phát triển của khoa học đã chỉ ra rằng, toán học trở thành công cụ nhận thức duy lý của các khoa học cụ thể và việc sử dụng các công cụ toán học đã trở thành nhu cầu của mọi ngành khoa học. Với nghĩa này, C.Mác đã khẳng định: để đánh giá mức độ phát triển của một ngành khoa học nào đó, cần phải tính đến mức độ sử dụng toán học trong đó.  Mặt khác,  sự phát triển của các ngành khoa học cụ thể cũng tạo ra nhu cầu và cung cấp “tư liệu” cho sự phát triển của toán học. Quan hệ giữa toán học và các khoa học cụ thể là mối quan hệ biên chứng.

 Hai là, ở bất kỳ trình độ nào, toán học cũng luôn là kết quả của sự phản ánh các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của các khách thể hiện thực. Tuy nhiên, toán học không phản ánh hiện thực một cách cứng nhắc, siêu hình, mà phản ánh nó một cách sáng tạo, mang bản chất biện chứng sâu sắc. Để phản ánh quan hệ số lượng và hình thức không gian của khách thể hiện thực, toán học đã sáng tạo ra các khái niệm, lý thuyết ngày càng trừu tượng hơn - thông qua sự trừu tượng toán học. Nhờ những đặc điểm riêng, sự trừu tượng toán học đi xa hơn rất nhiều so với các khoa học cụ thể và đã tạo ra những công cụ toán học ngày càng phản ánh một cách chính xác hơn, sâu sắc hơn, đầy đủ hơn về hiện thực khách quan. Điều đó thể hiện đặc trưng biện chứng của sự phản ánh toán học, cũng như con đường biện chứng của sự phát triển toán học .

Ba là, toán học hiện đại ngày càng sản sinh ra các khái niệm mới, lý thuyết mới, trong đó có nhiều khái niệm, lý thuyết  ra đời do nhu cầu nội tại của sự  phát triển toán học nói riêng, của sự phát triển khoa học, công nghệ nói chung. Tuy nhiên, không phải vì thế mà cho rằng, các khái niệm toán học là "sản phẩm thuần tuý của tư duy". Cần phải nhận thấy rằng, những khái niệm này không chỉ có nguồn gốc sâu xa từ hiện thực khách quan, không chỉ là kết qủa của sự phản ánh hiện thực khách quan, mà chúng còn biểu hiện sâu sắc tính biện chứng của sự phản ánh toán học - phản ánh một cách sáng tạo và là một quá trình ngày càng đầy đủ hơn, chính xác hơn, sâu sắc hơn.

Bước vào nền văn minh trí tuệ với những thành tựu kỳ diệu của tin học (trong đó toán học đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là trong việc lập trình), việc nắm vững phương pháp luận duy vật biện chứng cho phép chúng ta vững vàng hơn trong việc nhận biết giá trị của những thành quả của toán học nói riêng, của khoa học, công nghệ hiện đại nói chung và vận dụng chúng một cách có hiệu quả vào công cuộc xây dựng và phát triển đất nước trong thời kỳ đẩy mạnh công nghiệp hoá, hiện đại hoá.

 


(1) C.Mác và Ph.Ăngghen. Toàn tập, t.20. Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Nội, 1995, tr.37.

(2) C.Mác và Ph.Ăngghen. Toàn tập, t.20. Nxb Chính trị Quốc giaHà Nội 1994, tr. 756.

(3) V.I.Lênin. Toàn tập, t.29. Nxb Tiến bộ, Mátxcơva, 1981, tr.179.

 

 

Đã xem: 1176
Thời gian đăng: Thứ hai - 02/02/2015 22:11
Người đăng: Phạm Quang Duy


Đánh giá bài viết
Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá
Click để đánh giá bài viết
 

Bài mới nhất